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1. 用计算器计算下列各式，将结果填写在横线上：
1. （1） 999×21＝；999×22＝；
  999×23＝；999×24＝.
2. （2）你发现了什么规律？用含n(1≤n＜9，且为整数)的式子表示；
3. （3）不用计算器，你能直接写出999×29的结果吗？用计算器验证一下你写的结果.

能力提升真题演练

1. 探索规律，观察下面关系式，解答问题。
13=1=14×12×22" style="max-width:100%;vertical-align: middle;">

13+23=9=14×22×32" style="max-width:100%;vertical-align: middle;">

13+23+33=36=14×32×42" style="max-width:100%;vertical-align: middle;">

13+23+33+43=100=14×42×52" style="max-width:100%;vertical-align: middle;">
1. （1）请猜想： 13+23+33+43+⋯+93+103" style="max-width:100%;vertical-align: middle;">= " style="max-width:100%;vertical-align: middle;">
2. （2）请猜想： 13+23+33+43+⋯+(n−1)3+n3" style="max-width:100%;vertical-align: middle;">=
3. （3）试计算： 413+423+433+⋯+493+503" style="max-width:100%;vertical-align: middle;">
2. 观察下列式子，并探索它们的规律：
11×2=1−12" style="max-width:100%;vertical-align: middle;"> ，

12×3=12−13" style="max-width:100%;vertical-align: middle;"> ，

13×4=13−14" style="max-width:100%;vertical-align: middle;">

………
1. （1）尝试写出第四个式子：
2. （2）通过以上式子，你发现了什么规律，试用正整数 n" style="max-width:100%;vertical-align: middle;"> 表示出该规律：；
3. （3）借助以上规律，化简式子： 21×2" style="max-width:100%;vertical-align: middle;"> 22×3" style="max-width:100%;vertical-align: middle;"> 23×4+⋯+2n(n+1)" style="max-width:100%;vertical-align: middle;"> .
3. 观察下列算式，找出规律并填空。
11×2=1−12,12×3=12−13" style="max-width:100%;vertical-align: middle;">

13×4=13−14,14×5=14−15" style="max-width:100%;vertical-align: middle;">

......
1. （1）第十个算式是.
2. （2） 11×2+12×3+13×4+...+12015×2016" style="max-width:100%;vertical-align: middle;"> 的值.
3. （3） 11×3+13×5+15×7+...+12015×2017" style="max-width:100%;vertical-align: middle;"> 的值.

1. 我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解： x=m×n" style="max-width:100%;vertical-align: middle;"> （m ， n是正整数，且 m≤n" style="max-width:100%;vertical-align: middle;"> ），在x的所有这种分解中，如果m ， n两因数之差的绝对值最小，我们就称 m×n" style="max-width:100%;vertical-align: middle;"> 是x的最佳分解．并规定： f(x)=mn" style="max-width:100%;vertical-align: middle;"> ．
例如：18可以分解成 1×18" style="max-width:100%;vertical-align: middle;"> ， 2×9" style="max-width:100%;vertical-align: middle;"> 或 3×6" style="max-width:100%;vertical-align: middle;"> ，因为 18−1>9−2>6−3" style="max-width:100%;vertical-align: middle;"> ，所以 3×6" style="max-width:100%;vertical-align: middle;"> 是18的最佳分解，所以 f(18)=36=12" style="max-width:100%;vertical-align: middle;"> ．
1. （1）填空：f(6)=；f(9)= ；
2. （2）一个两位正整数t（ t=10a+b" style="max-width:100%;vertical-align: middle;"> ， 1≤a≤b≤9" style="max-width:100%;vertical-align: middle;"> ，a ， b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求 f(t)" style="max-width:100%;vertical-align: middle;"> 的最大值；
3. （3）填空：
  ① f(22×3×5×7)=_____________" style="max-width:100%;vertical-align: middle;"> ；
  
  ② f(23×3×5×7)=_____________" style="max-width:100%;vertical-align: middle;"> ；
  
  ③ f(24×3×5×7)=_____________" style="max-width:100%;vertical-align: middle;"> ；
  
  ④ f(25×3×5×7)=_____________" style="max-width:100%;vertical-align: middle;"> ．
2. 有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的a区就会自动加上 a2" style="max-width:100%;vertical-align: middle;"> ，同时b区就会自动减去 3a" style="max-width:100%;vertical-align: middle;"> ，且均显示化简后的结果．已知a，b两区初始显示的分别是25和－16，如图．
如，第一次按键后，a，b两区分别显示：
1. （1）从初始状态按2次后，分别求a，b两区显示的结果；
2. （2）从初始状态按4次后，计算a，b两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
3. 在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等.现在我们来研究一种特殊的自然数——“纯数”.
定义：对于自然数n，在通过列竖式进行n (n 1) (n 2)的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数n为“纯数”.

例如：32是“纯数”，因为32 33 34在列竖式计算时各位都不产生进位现象；23不是“纯数”，因为23 24 25在列竖式计算时个位产生了进位.
1. （1）请直接写出1949到2019之间的“纯数”；
2. （2）求出不大于100的“纯数”的个数，并说明理由.

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